Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式在上恒成立.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意，可利用導(dǎo)數(shù)法來進(jìn)行求解，由，轉(zhuǎn)換為，即將問題轉(zhuǎn)化為曲線與直線有兩交點(diǎn)，求的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求函數(shù)的最值，從而問題可得解；

（Ⅱ）由題意，將問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，不等式在上恒成立，可構(gòu)造函數(shù)，并證明其最大值在區(qū)間上成立即可.

試題解析：（Ⅰ）令，∴；

令，∴，

令，解得，令，解得，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴.

要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的圖象與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（Ⅱ）∵，∴.

設(shè)， ，∴，

設(shè)，∴，則在上單調(diào)遞增，

又， ，

∴，使得，即，∴.

當(dāng)時(shí)， ， ；當(dāng)時(shí)， ， ；

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴ .

設(shè)，∴，

當(dāng)時(shí)， 恒成立，則在上單調(diào)遞增，

∴，即當(dāng)時(shí)， ，

∴當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式在上恒成立.