Question

3．設(shè)點(diǎn)A是曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)）上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=-1-2t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）上的動(dòng)點(diǎn)
（1）求曲線C與直線l的普通方程；
（2）求A，B兩點(diǎn)的最小距離．

Answer 1

分析 （1）由曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1可得普通方程．由直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=-1-2t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程．
（2）設(shè)A（2cosθ，sinθ），點(diǎn)A到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{17}sin（θ-φ）+5|}{\sqrt{5}}$（其中tanφ=4），利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出最值．

解答 解：（1）由曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），
可得普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
由直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=-1-2t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）化為普通方程：2x-y-5=0．
（2）設(shè)A（2cosθ，sinθ），點(diǎn)A到直線l的距離d=$\frac{|4cosθ-sinθ-5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|\sqrt{17}sin（θ-φ）+5|}{\sqrt{5}}$
（其中tanφ=4），當(dāng)sin（θ-φ）=-1時(shí)，
d取得最小值$\frac{5-\sqrt{17}}{\sqrt{5}}$=$\frac{5\sqrt{5}-\sqrt{85}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．