Question

如圖，已知圓C：x²+y²=2與x軸交于A₁、A₂兩點(diǎn)，橢圓E以線段A₁A₂為長軸，離心率．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為圓C上異于A₁、A₂的動點(diǎn)，過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交直線x=-2于點(diǎn)Q，判斷直線PQ與圓C的位置關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/63593.png' />，所以c=1（2分）
則b=1，即橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（4分）
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動時，直線PQ與圓C保持相切（6分）
證明：設(shè)P（x₀，y₀）（），則y₀²=2-x₀²，
所以，，
所以直線OQ的方程為（9分）
所以點(diǎn)Q（-2，）（11分）
所以（13分）
又，所以k_OP⊥k_PQ=-1，
即OP⊥PQ，故直線PQ始終與圓C相切（14分）
分析：（Ⅰ）直接求出a再利用離心率求出c即可求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用條件求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再求出k_OP和k_PQ的表達(dá)式，利用點(diǎn)P在圓上，可以得直線PQ與圓C保持相切．
點(diǎn)評：本題是對圓和橢圓的綜合考查．在做這一類型題目時，一定要畫出圖象，利用圖象來分析問題．