【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列{bn},{cn}滿足 (n+1) bn=an+1,(n+2) cn=,其中n∈N*.
(1)若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列{cn}的通項公式;
(2)若存在實數(shù)λ,使得對一切n∈N*,有bn≤λ≤cn,求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
【答案】(1)cn=1.(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)由題意得,根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得,即可的通項公式;
(2)由,遞推化簡,得到,因為一切,都有,得到,得到,再利用等差數(shù)列的性質(zhì),即可得到數(shù)列為等差數(shù)列。
試題解析:
(1)因為{an}是公差為2的等差數(shù)列,
所以an=a1+2(n-1),=a1+n-1,從而 (n+2)
cn=-(a1+n-1)=n+2,即cn=1.
(2)由(n+1)bn=an+1-,
得n(n+1) bn=nan+1-Sn,
(n+1)(n+2) bn+1=(n+1)an+2-Sn+1,
兩式相減,并化簡得an+2-an+1=(n+2) bn+1-nbn.
從而 (n+2) cn=-=-[an+1-(n+1) bn]
=+(n+1) bn
=+(n+1) bn
= (n+2)( bn+bn+1).
因此cn= ( bn+bn+1).
因為對一切n∈N*,有bn≤λ≤cn,所以λ≤cn= (bn+bn+1)≤λ,
故bn=λ,cn=λ.
所以 (n+1)λ=an+1-, ①
(n+2)λ= (an+1+an+2)-, ②
②-①,得 (an+2-an+1)=λ,即an+2-an+1=2λ.
故an+1-an=2λ (n≥2).
又2λ=a2-=a2-a1,則an+1-an=2λ (n≥1).
所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
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【題目】已知命題p:x∈R,使2x>3x;命題q:x(0, ),tanx>sinx下列是真命題的是( )
A.(¬p)∧q
B.(¬p)∨(¬q)
C.p∧(¬q)
D.p∨(¬q)
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【題目】如圖,直三棱柱ABC﹣A1B1C1 , 底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分別為A1B1、A1A的中點.
(1)求 >的值;
(2)求證:BN⊥平面C1MN;
(3)求點B1到平面C1MN的距離.
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【題目】《萊因德紙草書》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的數(shù)學著作之一.書中有一道這樣的題目:把100個面包分給5個人,使每個人所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和的 是較小的兩份之和,問最小一份為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】二維空間中圓的一維測度(周長)l=2πr,二維測度(面積)S=πr2;三維空間中球的二維測度(表面積)S=4πr2 , 三維測度(體積)V= πr3;四維空間中“超球”的三維測度V=8πr3 , 則猜想其四維測度W= .
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【題目】設(shè)函數(shù) .
(1)當a=b=2時,證明:函數(shù)f(x)不是奇函數(shù);
(2)設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù),求a與b的值;
(3)在(2)條件下,判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并求不等式 的解集.
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【題目】【選修4-4:坐標系與參數(shù)方程】
在直角坐標系中圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點O為極點, 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為
(1)求圓C的直角坐標方程及其圓心C的直角坐標;
(2)設(shè)直線與曲線交于兩點,求的面積.
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【題目】已知函數(shù),曲線在點處的切線與直線垂直(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)是否存在常數(shù),使得對于定義域內(nèi)的任意, 恒成立,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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