Question

5．已知函數(shù)f（x）=-x³+x²+bx+c，當(dāng)x=$\frac{2}{3}$時，函數(shù)f（x）有極大值$\frac{4}{27}$．
（Ⅰ）求實數(shù)b、c的值；
（Ⅱ）若存在x₀∈[-1，2]，使得f（x₀）≥3a-7成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f′（x）=-3x²+2x+b，利用當(dāng)x=$\frac{2}{3}$時，函數(shù)f（x）有極大值$\frac{4}{27}$，建立方程，即可求得實數(shù)b、c的值；
（Ⅱ）存在x₀∈[-1，2]，使得f（x₀）≥3a-7成立，等價于x∈[-1，2]，使得f（x）_max≥3a-7成立，求出函數(shù)的最大值，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-3x²+2x+b，
∵當(dāng)x=$\frac{2}{3}$時，函數(shù)f（x）有極大值$\frac{4}{27}$，
∴f′（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{3}$+b=0，f（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{8}{27}$+$\frac{4}{9}$+c=$\frac{4}{27}$，
∴b=0，c=0；
（Ⅱ）存在x₀∈[-1，2]，使得f（x₀）≥3a-7成立，
等價于x∈[-1，2]，使得f（x）_max≥3a-7成立，
由（Ⅰ）知，f（x）=-x³+x²，f′（x）=-3x（x-$\frac{2}{3}$），
函數(shù)在[-1，0）上單調(diào)遞減，在（0，$\frac{2}{3}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{2}{3}$，2]上單調(diào)遞減，
∵f（-1）=2，f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{27}$，
∴f（x）_max=f（-1）=2，
∴2≥3a-7，解得：a≤3．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的絕對值，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．