Question

已知函數(shù)
（1）求f（x）的極值；
（2）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）若f（x）-e=0在上有唯一實根，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

解：（1）∵，令f′（x）=0，∴x=e^a------------------------------------------------（2分）
由下表：

x	（0，ea）	ea	（ea，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

∴f（x）的極大值為
故f（x）的最大值為e^-a．-------------------------------------------------------（4分）
（2）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，∴在（0，+∞）上恒成立∴-------------（6分）
由（1）：令a=1，則，∴∴--------------------------（8分）
（3）由f（x）-e=0得a=1+lnx-ex，令g（x）=1+lnx-ex，------------------------------（10分）
則，由g′（x）=0 得，
當(dāng)，∴g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)，∴g（x）單調(diào)遞減．
且，，g（1）=1-e∵
由題意得：
即--------------------------------------------------------（13分）
分析：（1）先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定極值．
（2）將問題轉(zhuǎn)化為 在（0，+∞）上恒成立的問題，然后求函數(shù) ．的最大值，令k大于這個最大值即可．
（3）由f（x）-e=0得a=1+lnx-ex，令g（x）=1+lnx-ex，，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）在上的單調(diào)性和極值即可求出所求．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值點與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．導(dǎo)數(shù)是高考的熱點問題，每年必考，要給予重視．