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【題目】如圖,三棱錐的側面是等腰直角三角形,,,,且

(1)求證:平面平面;

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

(1)取的中點為,連接,可證 ,從而平面即平面平面

(2)在平面中過,計算平面、平面的法向量后再計算它們夾角的余弦值可得二面角的余弦值.我們也可以通過等積法計算到平面的距離,通過解三角形得到的距離,兩者結合可得二面角的正弦值后可得其余弦值.

(1)證明:如圖,取 中點,連結,因為是等腰直角三角形,

所以

,則,

中,由余弦定理得:

,

因為,,

所以,即,又,

所以平面,因平面,

所以平面平面;

(2)過點在平面內作于點,由(1)知平面

分別以為軸,軸,軸建立如圖空間直角坐標系,

不妨設,

則:,

,,

設平面的法向量

,取,

設平面的法向量,

,取

所以

因為二面角的平面角是銳角,

所以二面角的余弦值為.

解法二:過點于點

在平面上的射影為,連接,

,所以為所求二面角的平面角,

,則,

中,,

所以,

中,,所以,

,

所以,

,

中,,

所以,

所以二面角的余弦值為.

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