Question

已知，其中．

（1）當時，證明；

（2）若在區(qū)間，內(nèi)各有一個根，求的取值范圍；

（3）設數(shù)列的首項，前項和，，求，并判斷是否為等差數(shù)列？

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3），不是等差數(shù)列.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件中，可得，，從而考慮采用作差法來比較兩者的大小：，再由條件中可知，即；（2）可將條件在區(qū)間，內(nèi)各有一個根等價轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間，上各有一個零點，因此利用數(shù)形結(jié)合的思想可知，需滿足：

，則問題等價于在線性約束條件，求線性目標函數(shù)的取值范圍，將線性約束條件表示的可行域畫出，即可得；（3）由題意可知，考慮到當時，，當，

，因此數(shù)列的通項公式為

,從而可得，（），由p>0,q>0可知，故不是等差數(shù)列.

試題解析：（1），， 1分

∴， 3分

∵，∴，即，

∴； 4分

（2）拋物線的圖像開口向上，且在區(qū)間，內(nèi)各有一個根，

∴ 6分

∴點（）組成的可行域如圖所示， 8分

由線性規(guī)劃知識可知，，即． 9分

（3）由題意可知，，．

當時，，∴． 10分

當時，，

∴ 12分

∵，（），

∵，從而可知，，∴不是等差數(shù)列． 14分

考點：1.作差法比較代數(shù)式的大小；2.二次函數(shù)的零點分布；3.線性規(guī)劃；4.數(shù)列的通項公式.