Question

某電器公司生產(chǎn)A種型號(hào)的家庭電腦.1996年平均每臺(tái)電腦生產(chǎn)成本為5 000元，并以純利潤(rùn)20%標(biāo)定出廠價(jià).1997年開(kāi)始，公司更新設(shè)備，加強(qiáng)管理，逐步推行股份制，從而使生產(chǎn)成本逐年降低.2000年平均每臺(tái)A種型號(hào)的家庭電腦盡管出廠價(jià)僅是1996年出廠價(jià)的80%，但卻實(shí)現(xiàn)了純利潤(rùn)50%的高效率.求

（1）2000年每臺(tái)電腦的生產(chǎn)成本；

（2）以1996年的生產(chǎn)成本為基數(shù)，用二分法求1996～2000年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分?jǐn)?shù)（精確到0.01）.

Answer 1

解：第（1）問(wèn)是價(jià)格和利潤(rùn)的問(wèn)題，銷售總利潤(rùn)可以按每臺(tái)來(lái)算,也可以按實(shí)現(xiàn)50%的利潤(rùn)來(lái)算，從而找出等量關(guān)系；第（2）問(wèn)是增長(zhǎng)率問(wèn)題，要注意列出方程后，用二分法求解，但應(yīng)用二分法時(shí)注意合理使用計(jì)算器.

（1）設(shè)2000年每臺(tái)電腦的成本為p元，根據(jù)題意，得

p（1+50%）=5 000×（1+20%）×80%，解得p＝3 200（元）.?

故2000年每臺(tái)電腦的生產(chǎn)成本為3200元.

（2）設(shè)1996～2000年間每年平均生產(chǎn)成本降低的百分率為x，根據(jù)題意，得

5000（1－x）⁴=3200（0＜x＜1）.

令f（x）=5 000（1－x）⁴－3 200，作出x、f（x）的對(duì)應(yīng)值表，如下表:

x	0	0.15	0.3	0.45	0.6	0.75	0.9	1.05
F(x)	1800	-590	-2000	-2742	-3072	-3180	-3200	-3200

　　觀察上表，可知f（0）·f（0.15）＜0，說(shuō)明此函數(shù)在區(qū)間（0，0.15）內(nèi)有零點(diǎn)x ₀.

取區(qū)間（0，0.15）的中點(diǎn)x ₁=0.075，用計(jì)算器可算得f（0.075）≈460.因?yàn)閒（0.075）·?f（0.15）＜0，所以x ₀∈（0.075，0.15）.

再取（0.075，0.15）的中點(diǎn)x ₂=0.112 5，用計(jì)算器可算得f（0.112 5）≈－98.因?yàn)?/p>

f（0.075）·f（0.112 5）＜0，所以x ₀∈（0.075，0.112 5）.

同理，可得x ₀∈（0.009 375，0.112 5），x ₀∈（0.103 125，0.112 5），x ₀∈（0.103 125，0.107 812 5），x ₀∈（0.105 468 75，0.107 812 5）.

由于|0.107 812 5－0.105 468 75|＝0.002 343 75＜0.01，此時(shí)區(qū)間（0.105 468 75，0.107 812 5）的兩個(gè)端點(diǎn)精確到0.01的近似值都是0.11，所以原方程精確到0.01的近似解為0.11.

1996～2000年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分?jǐn)?shù)為11%.