Question

已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)。

（1）求的值；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性;

（3）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）在上為減函數(shù)；（3）.

【解析】

試題分析：（1）因為函數(shù)定義在上的奇函數(shù)，所以對任意，，；

（2）根據(jù)（1）的到的解析式，函數(shù)的單調(diào)性同過函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷，首先任取，然后作差比較與的大小，得到，進而得在上為減函數(shù)；（3）顯然通過代入解不等式計算難度很大，可以通過奇偶性和單調(diào)性解不等式，首先原不等式同解

,由（2）知在上為減函數(shù)，所以原不等式只需通過解即：看成關(guān)于的二次函數(shù)，且，進而只需，求得的取值范圍．

試題解析：（1）因為是奇函數(shù)，所以=0， （2分）

即 （4分）

（2）由（1）知， （5分）

設(shè)則 （6分）

因為函數(shù)y=2在R上是增函數(shù)且 ∴>0

又>0

∴>0即 （8分）

∴在上為減函數(shù). （9分）

（3）因是奇函數(shù)，

從而不等式：

等價于， （11分）

因為減函數(shù)，由上式推得：． （12分）

即對一切有：， （13分）

從而判別式 （14分）

考點：1.函數(shù)的奇偶性；2.函數(shù)的單調(diào)性；3.解不等式.