已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d的圖象在x=1處與直線y=4+d相切,
(1)試求b,c的值;
(2)若函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn),試求d的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)通過切點(diǎn)圖象上一點(diǎn)得到一個(gè)方程,再利用切線的斜率得到第二個(gè)方程,聯(lián)列方程組后,求出參數(shù)b,c的值;
(2)通過求函數(shù)的單調(diào)性,和函數(shù)極大值和極小值,要求函數(shù)圖象與x軸的有三個(gè)交點(diǎn)得到本題的解.
解答: 解:(1)∵函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d,
∴f'(x)=3x2+2bx+c.
∵函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d的圖象在x=1處與直線y=4+d相切,
∴f(1)=4+d,f'(1)=0,
即:1+b+c+d=4+d,3+2b+c=0,
∴b=-6,c=9.
(2)由(1)知:f(x)=x3-6x2+9x+d.
f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)
當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(1,3)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
∵函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn),
∴極大值f(1)>0,極小值f(3)<0.
∴-4<d<0.
點(diǎn)評(píng):本題考查的是導(dǎo)數(shù)知識(shí),利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值.本題是關(guān)于導(dǎo)數(shù)知識(shí)的常規(guī)題,計(jì)算難度不大,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)y=2sin(2x+
π
3
)的最小正周期為( 。
A、4π
B、π
C、2π
D、
π
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若b-a=c-b=1且C=2A,則cosC=( 。
A、
1
2
B、
1
4
C、
1
6
D、
1
8

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(
π
3
-x),若要得到函數(shù)y=sin(-
π
6
-x)的圖象,只需將函數(shù)y=f(x)圖象上所有的點(diǎn)( 。
A、向左平移
π
2
個(gè)單位長度
B、向右平移
π
2
個(gè)單位長度
C、向左平移
3
個(gè)單位長度
D、向右平移
3
個(gè)單位長度

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的焦點(diǎn)為F,離心率為
2
3
,短軸長為2
5
,過點(diǎn)F引兩直線l1和l2,l1交橢圓于點(diǎn)A和C,l2交橢圓于B和D.
(Ⅰ)求此橢圓的方程;
(Ⅱ)若|FA|•|FC|=|FB|•|FD|,試求四邊形ABCD面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,若△AF1F2為正三角形且周長為6;
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若橢圓C上存在A,B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若直線l:y=kx+n與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn),求證直線l過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0,2),B(1,3),C(2,5).試寫出滿足上述條件的定義域?yàn)閇0,2]的兩個(gè)函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,如果sinA,sinB,sinC成等差數(shù)列,∠B=30°,△ABC面積為
3
2
,則邊長b=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x)(x∈N*),f(1)=1,f(n)=(-1)n•3f(n-1)(n≥2),則f(4)等于( 。
A、27B、-27C、9D、-9

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同步練習(xí)冊(cè)答案