Question

已知α∈(0，

π

2

)，f(α)=

1

sinα

+

8

cosα

，則f（α）最小值為

 

．

Answer 1

分析：求出f（α）的導(dǎo)數(shù)f′（α），通過(guò)討論f′（α）的零點(diǎn)，得出函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性找到函數(shù)的最小值點(diǎn)，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系，可以求出這個(gè)最小值．

解答：解：f /(α)=

-cosα

(sinα) 2

+

8sinα

(cosα) 2

，
令f′（α）=0，得2sinα=cosα
設(shè)滿足條件的α為α₀，可得
當(dāng)α∈（0，α₀）時(shí)，f′（α）＜0，當(dāng)α∈(α0，

π

2

)時(shí)，f′（α）＞0，
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，α₀），故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(α0，

π

2

)
所以函數(shù)的最小值為f（α₀），
由

2sinα 0=cosα 0 sinα   2 0 +cosα   2 0 =1

且α∈(0，

π

2

)，得

sinα 0= 1 5 cosα 0= 2 5

故f(α 0) =

1

1 5

+

8

2 5

=5

5

，
所以函數(shù)的最小值為5

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)工具來(lái)求函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題．在找出函數(shù)的最小值點(diǎn)時(shí)，利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出角的正弦值和余弦值，得出最小值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．