Question

對于函數(shù)y=f（x），若同時滿足下列條件：
①函數(shù)y=f（x）在定義域D內(nèi)是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減函數(shù)；
②存在區(qū)間[a，b]⊆3D，使函數(shù)f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，則稱f（x）是D上的閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)f（x）=-x³符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數(shù)g（x）=，在區(qū)間（0，+∞）上是否為閉函數(shù)；
（3）若函數(shù)φ（x）=k+是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數(shù)f（x）=-x³在R上為單調(diào)減函數(shù)的特點，由f（a）=b，f（b）=a列方程即可解得a，b
（2）根據(jù)求導(dǎo)公式求出g′（x），并求出g（x）的單調(diào)區(qū)間，判斷其在（0，+∞）不具有單調(diào)性，再據(jù)閉函數(shù)的定義判斷；
（3）函數(shù)φ（x）=k+在[-2，+∞）單調(diào)遞增，根據(jù)閉函數(shù)的定得f（a）=a，f（b）=b，列出方程組后得：a、b是此方程組的解，再對k進(jìn)行分類討論，分別轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題，列對應(yīng)的不等式即可得k的取值范圍．
解答：解：（1）∵y=-x³是[a，b]上的減函數(shù)，
∴
∴．
∴（，∴
又∵-a³=b，∴．
∴所求區(qū)間為[-1，1]．
（2）∵g′（x）=∈（0，+∞），
令g′（x）=＞0，得x＞，
∴x＞時，g（x）為（，+∞）上的增函數(shù)．
令g′（x）=＜0，得0＜x＜
∴g（x）為（0，）上的減函數(shù)．
∴g（x）不是（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)．
∴g（x）不是（0，+∞）上的閉函數(shù)．
（3）易知φ（x）是[-2，+∞]上的增函數(shù)．
設(shè)φ（x）=k+滿足條件②的區(qū)間是[a，b]，
∴
即a，b是方程x=k+的兩個不等實根．
也就是方程組有兩個不等實根a，b．
①當(dāng)k≤-2時，方程x²-（2k+1）+（k²-2）=0在[-2，+∞）上有兩個不等實根．
∴
解得：-．
②當(dāng)k＞-2時，方程x²-（2k+1）x+（k²-2）=0在[k，+∞）上有兩個不等實根．
∴
解得：-，與條件k＞-2矛盾．
∴φ（x）=k+是閉函數(shù)，實數(shù)k的取值范圍是-．
點評：本題考查了新定義型函數(shù)的理解和運用能力，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，以及問題的等價轉(zhuǎn)化能力和分類討論思想．