Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中點
（1）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求三棱錐P-AEC的體積．

Answer 1

（1）證明：以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，
AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
∵PA=AB=2，BC=4，
∴P（0，0，2），C（2，4，0），D（0，4，0），
∴，，
設(shè)平面PCD的法向量，則，，
∴，∴，
∵平面PAD的法向量，
∴，
∴平面PDC⊥平面PAD．
（2）解：∵E（0，2，1），P（0，0，2），C（2，4，0），A（0，0，0），
∴，=（2，4，0），=（0，2，1），
設(shè)平面PAC的法向量，則，，
∴，∴=（2，-1，0），
∴點E到平面PAC的距離d===，
∵=2，
∴三棱錐P-AEC的體積V===．
分析：（1）以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面PCD的法向量和平面PAD的法向量，利用向量法能夠證明平面PDC⊥平面PAD．
（2）由E（0，2，1），P（0，0，2），C（2，4，0），A（0，0，0），知，=（2，4，0），=（0，2，1），求出平面PAC的法向量，利用向量法求出點E到平面PAC的距離d，再求出△PAC的面積，由三棱錐P-AEC的體積V=，能求出結(jié)果．
點評：本題考查平面與平面的垂直，考查棱錐的體積的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．