Question

設集合S={1，2，3，4，5}，從5的所有非空子集中，等可能的取出一個．
（1）設A⊆S，若x∈A，則6-x∈A，就稱子集A滿足性質p，求所取出的非空子集滿足性質p的概率；
（2）所取出的非空子集的最大元素為ξ，求ξ的分布列和數學期望E（ξ）．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,元素與集合關系的判斷

專題：概率與統計

分析：（1）基本事件總數n=

C

1 5

+

C

2 5

+

C

3 5

+

C

4 5

+

C

5 5

=31，滿足條件的A的集合共有m=7個，由此能求出所取出的非空子集滿足性質p的概率．
（2）依題意，ξ的所有可能取值為1，2，3，4，5，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數學期望E（ξ）．

解答： 解：（1）基本事件總數n=

C

1 5

+

C

2 5

+

C

3 5

+

C

4 5

+

C

5 5

=31，
∵設A⊆S，若x∈A，則6-x∈A，
∴A的集合為：{1，5}，{2，4}，{3}，{1，3，5}，{2，3，4}，
{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共有m=7個，
∴所取出的非空子集滿足性質p的概率P=

m

n

=

7

31

．
（2）依題意，ξ的所有可能取值為1，2，3，4，5
則P（ξ=1）=

C 1 5

31

=

5

31

，
P（ξ=2）=

C 2 5

31

=

10

31

，
P（ξ=3）=

C 3 5

31

=

10

31

，
P（ξ=4）=

C 4 5

31

=

5

31

，
P（ξ=5）=

C 5 5

31

=

1

31

，
故ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4	5
P	5 31	10 31	10 31	5 31	1 31

從而Eξ=1×

5

31

+2×

10

31

+3×

10

31

+4×

5

31

+5×

1

31

=

80

31

．

點評：本題考查等可能事件概率、離散型隨機變量的分布列及數學期望等基礎知識，考查數據處理能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．