Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長(zhǎng)都相等，P為A₁B上的點(diǎn)，

A1P

=λ

A1B

，且PC⊥AB．
（1）求λ的值；
（2）求異面直線(xiàn)PC與AC₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出正三棱柱的棱長(zhǎng)，以底面上一邊的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出要用的各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量的垂直關(guān)系，要求的實(shí)數(shù)的值．
（2）在兩條異面直線(xiàn)上構(gòu)造兩個(gè)向量，根據(jù)兩個(gè)向量的坐標(biāo)，寫(xiě)出兩個(gè)向量的夾角的余弦，是一個(gè)負(fù)值，根據(jù)異面直線(xiàn)所成的角是不大于90°的角，得到余弦值．

解答：解：（1）設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則：A（0，-1，0），B(

3

，0，0)，C（0，1，0），A₁（0，-1，2），
B1(

3

，0，2)，C₁（0，1，2），
∴

AB

=(

3

，1，0)，

CA1

=(0，-2，2)，

A1B

=(

3

，1，-2)，
∵PC⊥AB，
∴

CP

•

AB

=0，(

CA1

+

A1P

)•

AB

=0，(

CA1

+λ

A1B

)•

AB

=0，λ=-

CA1 • AB

A1B • AB

=

1

2

（2）由（1）知：

CP

=(

3

2

，-

3

2

，1)，

AC1

=(0，2，2)，cos＜

CP

，

AC1

＞=

CP • AC1

| CP |•| AC1 |

=

-3+2

2•2 2

=-

2

8

，
∴異面直線(xiàn)PC與AC₁所成角的余弦值是

2

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用空間向量解決立體幾何中的夾角和距離的問(wèn)題，是一個(gè)典型的題目，解題的關(guān)鍵是要用的點(diǎn)的坐標(biāo)比較多，寫(xiě)起來(lái)比較繁瑣，注意不要出錯(cuò)．