Question

12．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=1．
（1）求證：平面PAB⊥平面PCB；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積V．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥底面ABCD得PA⊥BC，又AB⊥BC，故BC⊥平面PAB，于是平面PAB⊥平面PCB；
（2）由PA⊥底面ABCD得PA⊥AD，又AD⊥PC，故AD⊥平面PAC，于是AD⊥AC，由到腰直角三角形ABC可計(jì)算AC=$\sqrt{2}$，∠BAC=45°，故∠ACD=45°，于是CD=$\sqrt{2}AC=2$，代入棱錐體積公式計(jì)算即可求得體積．

解答 （1）證明：∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC．又AB⊥BC，PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．又BC?平面PCB，
∴平面PAB⊥平面PCB．
（2）解：∵PA⊥底面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥AD．又PC⊥AD，PA?平面PAC，PC?平面PAC，PA∩PC=P，
∴AD⊥平面PAC，∵AC?平面PAC，
∴AC⊥AD，
∵AB⊥BC，AB=BC=1，
∴∠BAC=$\frac{π}{4}$，AC=$\sqrt{2}$，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC=$\frac{π}{4}$．
又AC⊥AD，∴△DAC為等腰直角三角形，
∴DC=$\sqrt{2}$AC=2，
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}×（1+2）×1$=$\frac{3}{2}$，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×1=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定，線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．