Question

在直角坐標(biāo)系xoy中，已知向量

a

=（-1，2），點(diǎn)A（8，0），B（ksinθ，t），（0≤θ≤

π

2

，t∈R）
（1）若

AB

⊥

a

，且|

OA

|=|

AB

|，求向量

OB

．
（2）若向量

AB

與向量

a

共線，當(dāng)k＞4，且tsinθ取得最大值為4時(shí)，求

OA

•

OB

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)已知，寫出

AB

=(ksinθ-8，t)，然后，根據(jù)垂直條件，求解即可；
（2）設(shè)

AB

=λ

a

，然后，借助于向量運(yùn)算，構(gòu)造關(guān)系式，tsinθ=（16-2ksinθ）sinθ，然后，進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)A（8，0），B（ksinθ，t），
∴

AB

=(ksinθ-8，t)，
∵

AB

⊥

a

，
∴-ksinθ+8+2t=0，①
∵|

OA

|=|

AB

|，
∴8=

(ksinθ-8)2+t2

  ②
聯(lián)立①②，得
ksinθ-8=±

16 5

5

，
∴ksinθ=8±

16 5

5

，
∴t=±

8 5

5

，
∴

OB

=(8+

16 5

5

，

8 5

5

)或

OB

=(8-

16 5

5

，-

8 5

5

)．
（2）∵向量

AB

與向量

a

共線，
∴

AB

=λ

a

，
∴（ksinθ-8，t）=λ（-1，2），
∴

ksinθ-8=-λ t=2λ

，
∴ksinθ-8=-

t

2

，
∴t=16-2ksinθ，
∴tsinθ=（16-2ksinθ）sinθ
=-2ksin²θ+16sinθ
設(shè)sinθ=x，
∴f（x）=-2kx²+16x
=-2k（x-

4

k

）²+

32

k

，
∴

32

k

=4，
∴k=8，
sinθ=1，t=0，
∴B（8，0），
∴

OA

•

OB

=64．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的基本運(yùn)算等知識(shí)，屬于難題．