Question

在海島A上有一座海拔

3

km的山峰，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P．有一艘輪船按一固定方向做勻速直線(xiàn)航行，上午11：00時(shí)，測(cè)得此船在島北偏東15°、俯角為30°的B處，到11：10時(shí)，又測(cè)得該船在島北偏西45°、俯角為60°的C處．
（1）求船的航行速度；
（2）求船從B到C行駛過(guò)程中與觀察站P的最短距離．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）由題意在三角形中利用余弦定理及位移與速度的關(guān)系即可；
（2）由題意及圖形利用物理知識(shí)及余弦定理，作AD⊥BC于點(diǎn)D，當(dāng)船行駛到點(diǎn)D時(shí)，AD最小，從而PD最��；求得最小距離．

解答： 解：（1）設(shè)船速為xkm/h，則BC=

x

6

km．
在Rt△PAB中，∠PBA與俯角相等為30°，∴AB=

3

tan30°

=3．
同理，Rt△PCA中，AC=

1

tan60°

=1．------4分
在△ACB中，∠CAB=15°+45°=60°，
∴由余弦定理得BC=

32+12-2×3×1×cos60°

=

7

，
∴x=6

7

km/h，∴船的航行速度為6

7

km/h．------7分
（2）作AD⊥BC于點(diǎn)D，∴當(dāng)船行駛到點(diǎn)D時(shí)，AD最小，
從而PD最小．
此時(shí)，AD=

AB•AC•sin60°

BC

=

3×1× 3 2

7

=

3

14

21

．------11分
∴PD=

3 2+( 3 14 21 )2

=

777

14

．
∴船在行駛過(guò)程中與觀察站P的最短距離為

777

14

km．------13分．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查解三角形的有關(guān)知識(shí)及空間想象能力，具體涉及到余弦定理、正弦定理，三角形的面積公式．