解:(1)∵a=1,
∴函數(shù)f(x)=x
2-2ax-3a
2=x
2-2x-3=(x-1)
2-4≥-4,
故函數(shù)的值域?yàn)閇-4,+∞).
(2)函數(shù)f(x)=x
2-2ax-3a
2=(x-a)
2-4a
2,對稱軸為 x=a.
當(dāng)a≥1時(shí),在區(qū)間[1,4a]上,函數(shù)f(x)最小值為-4a
2,最大值為5a
2,由題意得
-4a
2≥-4a 且 5a
2≤4a,顯然 a無解.
當(dāng)1>a>
時(shí),函數(shù)f(x)在[1,4a]上是增函數(shù),最小值為1-2a-3a
2,最大值為 5a
2,
由題意得1-2a-3a
2≥-4a 且 5a
2≤4a. 解得
a≤
,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為
.
分析:(1)把二次函數(shù)f(x)的解析式配方,利用配方法求函數(shù)的值域.
(2)函數(shù)f(x)的對稱軸為 x=a,分a≥1時(shí)和1>a>
兩種情況求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,4a]上的值域,由-4a≤f(x)≤4a恒成立可得,f(x)的最小值大于或等于-4a,最大值小于或等于4a,解不等式組求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
點(diǎn)評:本題考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域,函數(shù)的恒成立問題,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,4a]上的值域是解題的難點(diǎn).