Question

19．已知α是第二象限角，且sin（$\frac{π}{2}$+α）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，則$\frac{{cos}^{3}α+sinα}{cos（α-\frac{π}{4}）}$=$\frac{9\sqrt{2}}{5}$．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sinα的值，利用特殊角的三角函數(shù)值，兩角差的余弦函數(shù)公式化簡后即可計算得解．

解答 解：∵α是第二象限角，且sin（$\frac{π}{2}$+α）=cosα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{{cos}^{3}α+sinα}{cos（α-\frac{π}{4}）}$=$\frac{co{s}^{3}α+sinα}{\frac{\sqrt{2}}{2}（cosα+sinα）}$=$\frac{（-\frac{\sqrt{5}}{5}）^{3}+\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}（-\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}）}$=$\frac{9\sqrt{2}}{5}$．
故答案為：$\frac{9\sqrt{2}}{5}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，特殊角的三角函數(shù)值，兩角差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．