Question

（2012•靜安區(qū)一模）在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱DD₁的中點．則異面直線EF與BD₁所成角的余弦值是（　�。�

• A．

  2

  3

• B．

  2 2

  3

• C．

  3

  4

• D．

  3

  6

Answer 1

分析：以AB、AD、AA₁為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，可得B、D₁、E、F各點的坐標(biāo)，從而得到

BD1

和

EF

的長度和數(shù)量積，利用空間向量的夾角公式求出它們所成角的余弦，即可得到異面直線EF與BD₁所成角的余弦值．

解答：解：以AB、AD、AA₁為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
則B（1，0，0），D₁（0，1，1），E（1，

1

2

，0），F(xiàn)（0，1，

1

2

）
∴

BD1

=（-1，1，1），

EF

=（-1，

1

2

，

1

2

）
可得

|BD1|

=

3

，

|EF|

=

6

2

BD1

•

EF

=（-1）×（-1）+1×

1

2

+1×

1

2

=2
設(shè)異面直線EF與BD₁所成角為θ，則cosθ=|

BD1 • EF

|BD1| • |EF|

|=

2 2

3

故選B

點評：本題在正方體中求兩條異面直線所成角的余弦值，著重考查了利用空間坐標(biāo)系求向量的長度和夾角等知識，屬于基礎(chǔ)題．