Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|+3x，（a∈R）．
（1）求不等式f（x）＞3x+1的解集；
（2）若不等式f（x）≤0的解集為{x|x≤-1}，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專(zhuān)題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）f（x）＞3x+1?|x-a|+3x＞3x+1?|x-a|＞1，利用絕對(duì)值不等式的幾何意義即可求得原不等式的解集；
（2）不等式|x-a|+3x≤0等價(jià)于3x≤x-a≤-3x，轉(zhuǎn)化為不等式組即

3x≤x-a x-a≤-3x

，通過(guò)對(duì)參數(shù)a＜0與a≥0的討論，利用不等式f（x）≤0的解集為{x|x≤-1}，即可求得a的值．

解答： 解（1）由f（x）＞3x+1化簡(jiǎn)可得|x-a|＞1，即x-a＞1或x-a＜-1，
解得：x＞a+1或x＜a-1------（2分）
∴不等式f（x）＞3x+1的解集為{x|x＞a+1或x＜a-1}------（4分）
（2）不等式|x-a|+3x≤0等價(jià)于3x≤x-a≤-3x，即

3x≤x-a x-a≤-3x

即

x≤- a 2 x≤ a 4

----（6分）
若a＜0則原不等式的解集是{x|x≤

a

4

}={x|x≤-1}，此時(shí)a=-4
若a≥0則原不等式的解集是{x|x≤-

a

2

}={x|x≤-1}，此時(shí)a=2
綜上：a=2或a=-4------（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查轉(zhuǎn)化思想與分類(lèi)討論思想的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．