Question

二次函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上不單調(diào)，求a的取值范圍．
（3）若f（x）定義域為[0，m]，值域為[1，3]，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），然后把已知代入函數(shù)解析式，建立關(guān)系a，b，c的方程，解可求
（2）由f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上不單調(diào)可知對稱軸x=1∈（2a，a+1）且a+1＞2a，解不等式可求a的范圍
（3）先求出函數(shù)的對稱軸x=1，結(jié)合已知分類討論對稱軸與區(qū)間[0，m]的關(guān)系，然后分別求解即可

解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（1）=1，f（0）=f（2）=3．
∴a

a+b+c=1 c=3 4a+2b+c=3

，解可得a=2，b=-4，c=3
∴f（x）=2x²-4x+3
（2）若f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上不單調(diào)
則函數(shù)的對稱軸x=1∈（2a，a+1）且a+1＞2a
∴2a＜1＜a+1
解可得0＜a＜

1

2

（3）函數(shù)的對稱軸x=1
①若0＜m≤1，則函數(shù)在[0，m]上單調(diào)遞減，函數(shù)的最大值為f（0）=3，最小值f（m）=2m²-4m+3=1
解可得m=1，符合題意
②若m＞1，則函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞減，[1，m]上單調(diào)遞增，最小值f（1）=1，
而f（0）=3，f（m）=2m²-4m+3，由最大值為3可知2m²-4m+3≥3
解可得m≥2
綜上可得，m≥2或m=1

點評：本題主要考查了待定系數(shù)求解二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用