Question

4．己知數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和為a_n=n²+2n．
（1）求數(shù)列S_n的通項(xiàng)；
（2）求數(shù)列{${2}^{{S}_{n}}$}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）分當(dāng)n=1時(shí)與當(dāng)n≥2時(shí)討論，從而求通項(xiàng)公式；
（2）化簡(jiǎn)${2}^{{S}_{n}}$=2²ⁿ⁺¹=2•4ⁿ，從而可判斷數(shù)列{${2}^{{S}_{n}}$}是以8為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，從而解得．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a₁=1²+2=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=n²+2n，a_n-1=（n-1）²+2（n-1）；
∴S_n=a_n-a_n-1=（n²+2n）-（（n-1）²+2（n-1））
=2n+1，
S₁=3也滿足S_n=2n+1，
故數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式為S_n=2n+1；
（2）∵S_n=2n+1，∴${2}^{{S}_{n}}$=2²ⁿ⁺¹=2•4ⁿ，
故數(shù)列{${2}^{{S}_{n}}$}是以8為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
故其前n項(xiàng)和為$\frac{8（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{8}{3}$（4ⁿ-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用．