Question

16．設命題p：實數(shù)x滿足x²-（m+$\frac{1}{m}$）x+1＜0，其中m＞1．
命題q：實數(shù)x，滿足x²-x-6≤0．
（Ⅰ）若m=5，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（Ⅱ）若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）對于命題p：實數(shù)x滿足x²-（m+$\frac{1}{m}$）x+1＜0，其中m＞1，因式分解為：（x-m）$（x-\frac{1}{m}）$＜0，$\frac{1}{m}$＜m，m=5，即可解出．
對于命題q：由x²-x-6≤0，利用一元二次不等式的解法即可得出．由于p∧q為真，則p與q都為真命題，即可得出實數(shù)x的取值范圍．
（II）利用p是q的充分不必要條件，即可得出．

解答 解：（I）對于命題p：實數(shù)x滿足x²-（m+$\frac{1}{m}$）x+1＜0，其中m＞1，因式分解為：（x-m）$（x-\frac{1}{m}）$＜0，解得$\frac{1}{m}＜x＜$m．
m=5時，可得：$\frac{1}{5}$＜x＜5．
對于命題q：由x²-x-6≤0，解得-2≤x≤3．
∵p∧q為真，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{5}＜x＜5}\\{-2≤x≤3}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{5}$＜x≤3．
∴實數(shù)x的取值范圍是$（\frac{1}{5}，3]$．
（II）∵p是q的充分不必要條件，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{5}≤\frac{1}{m}}\\{m≤3}\end{array}\right.$，又m＞1，解得1＜m≤3．
∴m的取值范圍是（1，3]．

點評 本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．