Question

已知橢圓C：

x2

5

+

y2

4

=1的右焦點為F，過點P（5，0）的直線l與橢圓C交于Q、R，且

PR

=λ

PQ

(λ＞1)．
（1）若λ=

3

2

，求直線l的方程；
（2）試用λ表示Q點的橫坐標，并求出λ的最大值；
（3）若點S是點R關(guān)于x軸的對稱點，求證：

SF

=λ

FQ

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用

PR

=

3

2

PQ

，可得坐標之間的關(guān)系，再利用點在橢圓上，求得點的坐標，即可求得直線l的方程；
（2）利用

PR

=λ

PQ

，可得坐標之間的關(guān)系，再利用點在橢圓上，求得點的坐標，當且僅當P，Q，R在長軸上時，λ最大；
（3）由（2）知，S（x₁，-y₁），F(xiàn)（1，0），用坐標表示向量，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：設(shè)R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則
∵

PR

=

3

2

PQ

，∴（x₁-5，y₁）=

3

2

（x₂-5，y₂）
∴x₁=

3

2

x₂-

5

2

，y₁=

3

2

y₂，
∵

x12

5

+

y12

4

=1，

x22

5

+

y22

4

=1
∴x2=

5

3

，y2=±

4

3

∵P（5，0），∴直線l的斜率為±

2

5

∴直線l的方程為y=±

2

5

（x-5）；
（2）解：∵

PR

=λ

PQ

，∴（x₁-5，y₁）=λ（x₂-5，y₂）
∴x₁=λx₂-5λ+5，y₁=λy₂，
∵

x12

5

+

y12

4

=1，

x22

5

+

y22

4

=1
∴x2=3-

2

λ

當且僅當P，Q，R在長軸上時，λ最大，此時|PQ|=5-

5

，|PR|=5+

5

，
∴λ=

3

2

+

5

2

（3）證明：由（2）知，S（x₁，-y₁），F(xiàn)（1，0）
∴

SF

=（1-x₁，y₁），

.

FQ

=（x₂-1，y₂），
∵x₁=λx₂-5λ+5，y₁=λy₂，x2=3-

2

λ

∴

SF

=λ

FQ

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合，考查向量知識的運用，解題的關(guān)鍵是確定坐標之間的關(guān)系．