Question

如圖，是圓的直徑,點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，直線(xiàn) 分別為的中點(diǎn)。

（1）記平面與平面的交線(xiàn)為，試判斷與平面的位置關(guān)系，并加以說(shuō)明；
（2）設(shè)（1）中的直線(xiàn)與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且點(diǎn)滿(mǎn)足，記直線(xiàn)
平面所成的角為異面直線(xiàn)與所成的銳角為，二面角的大小為
①求證：
②當(dāng)點(diǎn)為弧的中點(diǎn)時(shí)，，求直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值。

Answer 1

（1）直線(xiàn)∥平面（2）①詳見(jiàn)解析②

試題分析：（1）面,根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)平行，線(xiàn)面平行，線(xiàn)與交線(xiàn)平行，從而得出線(xiàn)面平行，（2）①連接，由（ 1）可知交線(xiàn)即為直線(xiàn)，且∥. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042242527374.png" style="vertical-align:middle;" />是的直徑，所以，于是.已知平面，而平面，所以.而，所以平面,在不同的直角三角形內(nèi)構(gòu)造，做出.③因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042242699428.png" style="vertical-align:middle;" />∥，所以直線(xiàn)與平面所成的角就為CF與平面所成的角過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BF,垂足為G，就是直線(xiàn)與平面所成的角.
試題解析：

解（1）直線(xiàn)∥平面，證明如下：連接，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042242871311.png" style="vertical-align:middle;" />，分別是，的中點(diǎn)，所以∥. 又平面，且平面，所以∥平面.而平面，且平面平面，所以∥. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042243120333.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以直線(xiàn)∥平面
（2）①證明：如圖，

連接，由（1）可知交線(xiàn)即為直線(xiàn)，且∥. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042242527374.png" style="vertical-align:middle;" />是的直徑，所以，于是.
已知平面，而平面，所以.而，所以平面.連接，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042243526426.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以.故就是二面角的平面角，即. 由，作∥，且. 連接，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042242886301.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，，所以，
從而四邊形是平行四邊形，∥.連接，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042242574416.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以是在平面內(nèi)的射影，故就是直線(xiàn)與平面所成的角，即. 又平面，有，知為銳角，故為異面直線(xiàn)與所成的角，即，   8分
于是在△，△，△中，分別可得，，，
從而，即.      9分
②因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042242699428.png" style="vertical-align:middle;" />∥，所以直線(xiàn)與平面所成的角就為CF與平面所成的角
過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BF,垂足為G，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042243916401.png" style="vertical-align:middle;" />平面所以CG，又所以CG⊥平面
故就是直線(xiàn)與平面所成的角， ，故直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為    13分