Question

6．已知圓C的方程為x²+y²+2x-6y-6=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求過(guò)點(diǎn)M（-5，11）的圓C的切線方程；
（Ⅱ）若圓C上有兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱，并且滿足$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=-7$，求m的值和直線PQ的方程；
（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)N（2，3）作直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求△ABC的最大面積以及此時(shí)直線AB的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化圓的一般式方程為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心坐標(biāo)和半徑，然后分切線的斜率存在和不存在求解，當(dāng)斜率不存在時(shí)直接寫出切線方程，斜率存在時(shí)，設(shè)出切線方程的點(diǎn)斜式，化為一般式，由圓心到切線的距離等于半徑求斜率，則曲線方程可求；
（Ⅱ）曲線x²+y²+2x-6y-6=0上有兩點(diǎn)P、Q，滿足關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱，說(shuō)明曲線是圓，直線過(guò)圓心，易求m的值；設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程為y=-x+b．聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，以及滿足$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=-7，求得k的方程，然后求直線PQ的方程；
（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)N（2，3）的弦AB分它的斜率存在、斜率不存在兩種情況分別求得△ABC的面積S的值，綜合可得△ABC的最大面積以及此時(shí)直線AB的斜率．

解答 解：（Ⅰ）∵圓C的方程為x²+y²+2x-6y-6=0，
即（x+1）²+（y-3）² =16，表示以C（-1，3）為圓心，半徑r=4的圓．
當(dāng)過(guò)點(diǎn)M（-5，11）的圓的切線斜率存在時(shí)，
設(shè)切線為y-11=k（x+5），即kx-y+5k+11=0．
根據(jù)圓心C（-1，3）到切線的距離等于半徑4，
可得$\frac{|-k-3+5k+11|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4，求得 k=-$\frac{3}{4}$，
故切線的方程為-$\frac{3}{4}$x-y+5•（-$\frac{3}{4}$）+11=0，即 即3x+4y-29=0．
當(dāng)過(guò)點(diǎn)M（-5，11）的圓的切線斜率不存在時(shí)，切線的方程為x=-5．
綜上可得，過(guò)點(diǎn)M（-5，11）的圓C的切線方程為即3x+4y-29=0 或x=-5．
（Ⅱ）由題意可得，圓心（-1，3）在直線x+my+4=0上，
∴-1+3m+4=0，求得m=-1，
即直線PQ與直線y=x+4垂直，
∴設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程為y=-x+b．
將直線y=-x+b代入圓方程，得2x²+2（4-b）x+b²-6b-6=0．
△=4（4-b）²-4×2×（b²-6b-6）＞0，得2-4$\sqrt{2}$＜b＜2+4$\sqrt{2}$．
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=-（4-b），x₁•x₂=$\frac{^{2}-6b-6}{2}$．
y₁•y₂=b²-b（x₁+x₂）+x₁•x₂=$\frac{^{2}}{2}$+b-3．
∵$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=-7，∴x₁x₂+y₁y₂=-7，即b²-2b+1=0．
解得b=1∈（2-4$\sqrt{2}$，2+4$\sqrt{2}$）．
∴所求的直線方程為y=-x+1．
（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)N（2，3）作直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，
當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，AB的直線方程為x=2，
此時(shí)，CN⊥AB，且CN=3，AB=2$\sqrt{{CA}^{2}{-CN}^{2}}$=2•$\sqrt{16-9}$=2$\sqrt{7}$，
△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$•AB•CN=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{7}$•3=3$\sqrt{7}$．
當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB的斜率為k，則直線AB的方程為y-3=k（x-2），
代入圓的方程可得（1+k²）x²+（2-4k²）x+4k²-15=0，
∴x₁+x₂=$\frac{{4k}^{2}-2}{1{+k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{{4k}^{2}-15}{1{+k}^{2}}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=2$\frac{\sqrt{7{k}^{2}+16}}{1+{k}^{2}}$．
∵△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$•|CN|•|y₁-y₂|=3|k|•$\frac{\sqrt{7{k}^{2}+16}}{1+{k}^{2}}$，
令1+k²=t，（t≥1）則S²=9（-$\frac{9}{{t}^{2}}$+$\frac{2}{t}$+7），
當(dāng)$\frac{1}{t}$=$\frac{1}{9}$即t=9，k=±2$\sqrt{2}$時(shí)，S²取得最大值64．
綜上可得，△ABC的最大面積為8，此時(shí)直線AB的斜率為±2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)，用點(diǎn)斜式求直線的方程，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，直線和圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬于難題．