Question

已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，設(shè).討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明當(dāng).

 

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

（2）見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，研究導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)，確定單調(diào)區(qū)間.

由于，當(dāng)時(shí)，.

所以，討論當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，即得結(jié)論；

（2）構(gòu)造函數(shù)，由于導(dǎo)數(shù)，通過(guò)確定函數(shù)的單調(diào)性及最值，達(dá)到解題目的.

由于，

所以令，再次利用導(dǎo)數(shù)加以研究，

當(dāng)時(shí)， 在上是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)， 在上是增函數(shù)，

又

得到當(dāng)時(shí),恒有,即,

在上為減函數(shù)，由，得證.

（1），所以． 2分

當(dāng)時(shí)，，故有：

當(dāng)，即時(shí)，，；

當(dāng)，即時(shí)，，

令，得；令，得， 5分

綜上，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)． 6分

（2）設(shè)，則，

令，則， 8分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718592416824191/SYS201411171859401689594699_DA/SYS201411171859401689594699_DA.036.png">，所以當(dāng)時(shí)，；在上是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，

又所以當(dāng)時(shí),恒有,即,

所以在上為減函數(shù)，所以，

即當(dāng)時(shí)，. 13分

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值、證明不等式，轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論思想.