如圖,在長(zhǎng)方體中,,,點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng),小螞蟻從點(diǎn)A沿長(zhǎng)方體的表面爬到點(diǎn),所爬的最短路程為。
(1)求證:;
(2)求AB的長(zhǎng)度;
(3)在線段AB上是否存在點(diǎn)E,使得二面角的大小為?若存在,確定點(diǎn)E的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
解:
解法一:
(1)連接,由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知:
AE⊥平面,
∴是在平面內(nèi)的射影。
又∵,∴四邊形是正方形,∴,
∴(三垂線定理)。
(2)設(shè),∵四邊形是正方形,
∴ 小螞蟻從點(diǎn)A沿長(zhǎng)方體的表面爬到點(diǎn)可能有兩種途徑:
如圖a的最短路程為
如圖b的最短路程為
∵
∴
∴,∴
(3)假設(shè)存在點(diǎn)E,連接DE,設(shè),過(guò)點(diǎn)D在
平面ABCD內(nèi)作DH⊥EC,連接,則為二面角的平面角,
∴;
∴
在內(nèi),,而
即,解得。
即存在點(diǎn)E,且到點(diǎn)B的距離為時(shí),二面角的大小為。
解法二:
(1)如圖c建立空間坐標(biāo)系,設(shè)
則
∴
∴。
(2)同解法一。
(3)假設(shè)存在點(diǎn)E,平面DEC的法向量
設(shè)平面的法向量,則
,即
解得,∴
由題意得,
解得或(舍去)
即當(dāng)點(diǎn)E離B為時(shí),二面角的大小為。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(08年惠州一中四模理) 如圖,在長(zhǎng)方體中,,點(diǎn)E在棱上移動(dòng)。
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)當(dāng)E為的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)E到面的距離;
(Ⅲ)等于何值時(shí),二面角 的大小為。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(本小題滿分14分)如圖,在長(zhǎng)方體中,,,點(diǎn)在棱上移動(dòng)。
(1)證明:;
(2)等于何值時(shí),二面角的大小為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,在長(zhǎng)方體中,點(diǎn)在棱的延長(zhǎng)線上,
且.
(Ⅰ) 求證://平面 ;(Ⅱ) 求證:平面平面;
(Ⅲ)求四面體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆黑龍江省高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
如圖,在長(zhǎng)方體中,,則與平面所成角的正弦值為 ( )
A. B. C. D.
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