【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°
(1)若PA=AB,求PB與平面PDC所成角的正弦值;
(2)當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí),求PA的長.
【答案】
(1)解:設(shè)AC∩BD=O,∵在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,∠BAD=60°
∴BO=1,AO=CO= ,
如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,
則 P(0,﹣ ,2),A(0,﹣ ,0),B(1,0,0),C(0, ,0),D(﹣1,0,0)
∴ =(1, ,﹣2), =(﹣1, ,﹣2), =(0,2 ,﹣2),
設(shè)平面PDC的法向量 =(x,y,z),
則 ,取y= ,得 =(﹣3, ,3),
設(shè)PB與平面PDC所成角為θ,
則sinθ = = .
∴PB與平面PDC所成角的正弦值為
(2)解:由(1)知 =(﹣1, ,0),設(shè)P(0,﹣ ,t)(t>0),
則 =(﹣1,﹣ ,t),設(shè)平面PBC的法向量 =(x,y,z),
則 ,取y= ,得 =(3, , ),
同理,平面PDC的法向量 =(﹣3, , ),
∵平面PCB⊥平面PDC,∴ =﹣9+3+ =0,
解得t= ,∴PA= .
【解析】(1)設(shè)AC∩BD=O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,利用向量法能求出PB與平面PDC所成角的正弦值.(2)求出平面PBC的法向量和平面PDC的法向量,利用向量法能求出PA的長.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí),掌握一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直,以及對(duì)空間角的異面直線所成的角的理解,了解已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)高三年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各選出8名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分)的莖葉圖如圖所示,其中甲班學(xué)生成績的平均分是86,乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83,則 的值為( )
A.9
B.10
C.11
D.13
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(﹣3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)
B.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞)
C.(﹣3,0)∪(3,+∞)
D.(﹣3,0)∪(0,3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知全集U=R,函數(shù) 的定義域?yàn)榧螦,集合B={x|5≤x<7}
(1)求集合A;
(2)求(UB)∩A.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l1的方程為3x+4y﹣12=0,
(1)求l2的方程,使得:①l2與l1平行,且過點(diǎn)(﹣1,3); ②l2與l1垂直,且l2與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4;
(2)直線l1與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B 兩點(diǎn),求三角形OAB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))內(nèi)切圓及外接圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0},記集合A中元素的個(gè)數(shù)為n(A),定義m(A,B)= ,若m(A,B)=1,則正實(shí)數(shù)a的值是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,底面ABC等邊三角形,E,F(xiàn)分別是BC,CC1的中點(diǎn).求證: (Ⅰ) EF∥平面A1BC1;
(Ⅱ) 平面AEF⊥平面BCC1B1 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2+2x﹣3=0.
(1)求圓的圓心C的坐標(biāo)和半徑長;
(2)直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)且不與y軸重合,l與圓C相交于A(x1 , y1)、B(x2 , y2)兩點(diǎn),求證: 為定值;
(3)斜率為1的直線m與圓C相交于D、E兩點(diǎn),求直線m的方程,使△CDE的面積最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解高三年級(jí)不同性別的學(xué)生對(duì)取消藝術(shù)課的態(tài)度(支持或反對(duì)),進(jìn)行了如下的調(diào)查研究.全年級(jí)共有1350人,男女生比例為8:7,現(xiàn)按分層抽樣方法抽取若干名學(xué)生,每人被抽到的概率均為 ,通過對(duì)被抽取學(xué)生的問卷調(diào)查,得到如下2x2列聯(lián)表:
支持 | 反對(duì) | 總計(jì) | |
男生 | 30 | ||
女生 | 25 | ||
總計(jì) |
(Ⅰ)完成列聯(lián)表,并判斷能否有99.9%的把握認(rèn)為態(tài)度與性別有關(guān)?
(Ⅱ)若某班有6名男生被抽到,其中2人支持,4人反對(duì);有4名女生被抽到,其中2人支持,2人反對(duì),現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取一男一女進(jìn)一步調(diào)查原因.求其中恰有一人支持一人反對(duì)的概率.
參考公式及臨界表:K2=
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706% | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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