Question

15．△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若$\frac{a}{sinB}=\frac{sinC}=\frac{c}{sinA}$，三角形ABC的形狀是（　�。�

• A． 直角三角形
• B． 等腰三角形
• C． 等邊三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得b²=ac，c²=ab，a²=bc，利用余弦定理可得cosA≥$\frac{1}{2}$，可得：A∈（0，$\frac{π}{3}$]，同理可得B∈（0，$\frac{π}{3}$]，C∈（0，$\frac{π}{3}$]，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得解三角形的形狀．

解答 解：由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
又$\frac{a}{sinB}=\frac{sinC}=\frac{c}{sinA}$，可得：$\frac{a}=\frac{c}=\frac{c}{a}$，
可得：b²=ac，c²=ab，a²=bc，
所以：cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$≥$\frac{2bc-bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立），可得：A∈（0，$\frac{π}{3}$]，
同理可得：cosB$≥\frac{1}{2}$，（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立），可得：B∈（0，$\frac{π}{3}$]，
cosC$≥\frac{1}{2}$，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立），可得：C∈（0，$\frac{π}{3}$]，
又A+B+C=π，可得：A=B=C=$\frac{π}{3}$．
故三角形ABC的形狀是等邊三角形．
故選：C．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．