Question

已知

a

=(1-cosx，2sin

x

2

)，

b

=(1+cosx，2cos

x

2

)，設(shè)f(x)=2+sinx-

1

4

|

a

-

b

|2
（1）若函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-

π

2

，

π

2

]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算與三角函數(shù)間的關(guān)系式可求得f（x）=sin²x+2sinx，由f（x）和函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可求得函數(shù)g（x）的解析式；
（2）依題意可求得h（x）的解析式，利用h′（x）≥0在[-

π

2

，

π

2

]恒成立即可求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：（1）∵

a

-

b

=（-2cosx，2sin

x

2

-2cos

x

2

），|

a

-

b

|=4cos²x+(2sin

x

2

-2cos

x

2

)2=4cos²x+4-4sinx，
∴f（x）=2+sinx-cos²x-1+sinx=sin²x+2sinx…（3分）
設(shè)（x，y）為g（x）圖象上任意一點(diǎn)，則（-x，-y）為f（x）圖象上的點(diǎn)，
∴-y=sin²（-x）+2sin（-x）=sin²x-2sinx，
∴y=-sin²x+2sinx即g（x）=-sin²x+2sinx…（6分）
（2）h（x）=-sin²x+2sinx-λ（sin²x+2sinx）+1
=（-1-λ）sin²x+（2-2λ）sinx+1，…（8分）
h'（x）=-2（1+λ）sinxcosx+（2-2λ）cosx，
∵h(yuǎn)（x）在[-

π

2

，

π

2

]上是增函數(shù)
∴h′（x）≥0在[-

π

2

，

π

2

]恒成立，
即-2（1+λ）sinxcosx+（2-2λ）cosx≥0，當(dāng)x=±

π

2

時(shí)，不等式恒成立
當(dāng)x∈（-

π

2

，

π

2

）時(shí)，cosx＞0，
∴-2（1+λ）sinx+2-2λ≥0即λ≤

1-sinx

1+sinx

=-1+

2

1+sinx

，…（10分）
∵sinx∈（-1，1）
∴-1+

2

1+sinx

∈（0，+∞），
∴λ≤0   …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算與三角函數(shù)間的關(guān)系式，考查三角函數(shù)的最值，考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性與最值中的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題．