Question

設(shè){a_n}是集合{2^t+m|0≤m＜t，且m，t∈N}中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即2，4，5，8，9，10，…將數(shù)列各項按照從上到下，從左到右的原則寫成如圖所示的三角形數(shù)表．

（Ⅰ）在答題卡上寫出這個三角形數(shù)表的第四行的各數(shù)
（Ⅱ）求a₅₀的值
（Ⅲ）設(shè)第i行的各數(shù)之和為b_i（i=1，2，3…），（例如：b₁=2，b₂=4+5，b₃=8+9+10，…），求T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性,歸納推理

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)新定義，可得三角形數(shù)表的第四行的各數(shù)；
（Ⅱ）a₅₀在圖中的第10行第5列，即可求a₅₀的值
（Ⅲ）由題及圖中規(guī)律可知，第i行的各數(shù)構(gòu)成以2ⁱ為首項，1為公差的等差數(shù)列，且第i行有i個元素，利用錯位相減法求和．

解答： 解：（I） 16，17，18，19              …（4分）
（II）由題及圖中規(guī)律可知，圖中第i行第j列的元素為2ⁱ+j-1，…（5分）
假設(shè)a₅₀在圖中的第i行第j列的位置，因為1+2+3+…+9=

9×(9+1)

2

＜50，…（6分）
所以a₅₀在圖中的第10行第5列，…（7分）
所以a50=210+4=1028…（8分）
（III） 由題及圖中規(guī)律可知，第i行的各數(shù)構(gòu)成以2ⁱ為首項，1為公差的等差數(shù)列，且第i行有i個元素，
所以bi=2i+(2i+1)+(2i+2)+…+(2i+i-1)=i•2i+

i(i-1)

2

=i•2i+

1

2

i2-

1

2

i…（9分）
b₁=2，Tn=

n

i=1

(i•2i)+

12+22+32+…+n2

2

-

1+2+3+…+n

2

…（10分）記Dn=

n

i=1

(i•2i)=2+2•22+3•23+…+n•2n(1)…（11分）2•Dn=22+2•23+3•24+…+(n-1)•2n+n•2n+1(2)
（1）-（2）得 -Dn=2+22+23+24+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1Dn=(n-1)2n+1+2…（13分）

12+22+32+…+n2

2

=

n(n+1)(2n+1)

12

1+2+3+…+n

2

=

n(n+1)

4

12+22+32+…+n2

2

-

1+2+3+…+n

2

=

n(n+1)(2n+1)

12

-

n(n+1)

4

=

n(n+1)(n-1)

6

Tn=(n-1)2n+1+2+

(n-1)n(n+1)

6

…（14分）

點評：本題考查新定義，考查數(shù)列知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，正確理解新定義是關(guān)鍵．