Question

若中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±5）的橢圓被直線3x-y-2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓方程為（ ）
A．+=1
B．+=1
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得出a²-b²=50，根據(jù)直線方程求出AB中點(diǎn)為（，-）．再設(shè)而不求的方法求得AB的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式，求出a²=3b²，聯(lián)解兩式即可得到該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解答：解：設(shè)橢圓：+=1（a＞b＞0），則a²-b²=50①
又設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中點(diǎn)（x，y）
∵x=，∴代入直線方程得y=-2=-
由，可得=-
∴AB的斜率k==-•=-•=3
∵=-1，∴a²=3b²②
聯(lián)解①②，可得a²=75，b²=25，得橢圓的方程為：+=1
故選：C
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問題、最值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題等．