Question

【題目】如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD是矩形，平面DCC1D1⊥平面ABCD.AD=3，CD=DD1=5，∠D1DC=120°，M，N分別是線段AD1，BD的中點(diǎn).

（1）求證：MN//平面DCC1D1；

（2）求證：MN⊥平面ADC1；

（3）求三棱錐D1﹣ADC1的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）連結(jié)、，則在上，推導(dǎo)出，由此能證明平面．

（2）連結(jié)，推導(dǎo)出，，從而平面，進(jìn)而，平面，再則，能證明平面．

（3）三棱錐的體積為，由此能求出結(jié)果．

（1）證明：連結(jié)、，則在上，

已知，分別是線段，的中點(diǎn)，所以，

且平面，平面，

所以平面．

（2）證明：連結(jié)，

因?yàn)?/span>在四棱柱中，底面四邊形是矩形，，

則，，

又因?yàn)?/span>平面平面．平面平面．

所以平面，而平面，得，

，因此平面，

又因?yàn)?/span>，所以平面．

（3）因?yàn)?/span>平面，則點(diǎn) 到平面的距離為，

已知，，有，

則三棱錐的體積為：

．