設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0)同時(shí)滿(mǎn)足下列條件:①f(1)=1;②當(dāng)x∈R時(shí),恒有f(x)≥x成立;③當(dāng)x∈R時(shí),恒有f(x-4)=f(2-x)成立.
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)設(shè)g(x)=4f(x)-4x+2,試問(wèn)g(x)是否存在這樣的區(qū)間[a,b](a<b)同時(shí)滿(mǎn)足下列條件:①g(x)在[a,b]上單調(diào);②若g(x)的定義域是[a,b],則其值域也是[a,b].若存在,求出這樣的區(qū)間[a,b],若不存在,試說(shuō)明理由.
(1)因當(dāng)x∈R時(shí),恒有f(x)≥x成立,
即ax2+(b-1)x+c≥0,∴△=(b-1)2-4ac≤0,且a>0,①
當(dāng)x∈R時(shí),恒有f(x-4)=f(2-x)成立,則函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x=-1,
即-
b
2a
=-1,∴b=2a,②
又f(1)=1,∴a+b+c=1,③
由①②③解得:a=
1
4
,b=
1
2
,c=
1
4

∴f(x)的表達(dá)式為f(x)=
1
4
x2+
1
2
x+
1
4

(2)g(x)=4f(x)-4x+2=x2-2x+3,
假設(shè)存在這樣的區(qū)間[a,b](a<b)同時(shí)滿(mǎn)足下列條件:①g(x)在[a,b]上單調(diào);②若g(x)的定義域是[a,b],則其值域也是[a,b].
∵g(x)在[a,b]上單調(diào),∴a≥1或b≤1.
當(dāng)a≥1時(shí),g(x)在[a,b]上單調(diào)增,若g(x)的定義域是[a,b],則值域?yàn)閇a2-2a+3,b2-2b+3],
a2-2a+3=a
b2-2b+3=b
,此方程組無(wú)解;
當(dāng)b≤1時(shí),g(x)在[a,b]上單調(diào)減,若g(x)的定義域是[a,b],則值域?yàn)閇b2-2b+3,a2-2a+3],
a2-2a+3=b
b2-2b+3=a
,此方程組無(wú)解;
綜上可知,不存在這樣的區(qū)間[a,b](a<b)同時(shí)滿(mǎn)足條件.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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xx-1
(x>1),若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù),b是從2,3,4,5四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù),求f(x)>b恒成立的概率.

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12
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-1
-1

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x
-
1
x
)n
,其中n=3
π
sin(π+x)dx,a為如圖所示的程序框圖中輸出的結(jié)果,則f(x)的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是( 。
A、-
5
2
B、-160
C、160
D、20

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