Question

函數(shù)y=log₂x+log_x2+1的值域是

（-∞，-1]∪[3，+∞）

．

Answer 1

分析：根據(jù)解析式先求出函數(shù)的定義域，再設(shè)t=log₂x并求出t的范圍，然后根據(jù)對數(shù)運(yùn)算代入解析式，利用基本不等式求出t+

1

t

的范圍，進(jìn)而求出函數(shù)的值域．

解答：解：由題意知，函數(shù)的定義域是（0，1）∪（1，+∞），
設(shè)t=log₂x，則t≠0，log_x2=

1

t

，∴y=log₂x+log_x2+1=t+

1

t

+1，
根據(jù)基本不等式知，當(dāng)t＞0時(shí)，有t+

1

t

≥2；當(dāng)t≤0時(shí)，有t+

1

t

≤-2，
∴y≤-1或y≥3，
∴函數(shù)的值域?yàn)椋海?∞，-1]∪[3，+∞），
故答案為：（-∞，-1]∪[3，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了有關(guān)對數(shù)函數(shù)的值域求法，考查了換元法，對數(shù)的運(yùn)算，以及基本不等式的應(yīng)用．