本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解、推理論證的能力.
如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy,拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)為F(1,0).過拋物線在x軸上方的不同兩點(diǎn)A、B,作拋物線的切線AC、BD,與x軸分別交于C、D兩點(diǎn),且AC與BD交于點(diǎn)M,直線AD與直線BC交于點(diǎn)N.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求證:MN⊥x軸;
(3)若直線MN與x軸的交點(diǎn)恰為F(1,0),求證:直線AB過定點(diǎn).

【答案】分析:(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),利用焦點(diǎn)為F(1,0),可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),求出切線AC、BD的方程,求得M的橫坐標(biāo),求出直線AD、BC的方程,求得N的橫坐標(biāo),即可證得結(jié)論;
(3)求得A(x1,y1),B(x2,y2)都滿足方程yy=2(1+x),即直線AB的方程為yy=2(1+x),從而可得結(jié)論.
解答:(1)解:由題意,可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),則,即p=2.
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.…(3分)
(2)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),且y1>0,y2>0.
由y2=4x(y>0),得y=2,所以y′=
所以切線AC的方程為y-y1=(x-x1),即y-y1=(x-x1).
整理,得yy1=2(x+x1),①且C點(diǎn)坐標(biāo)為(-x1,0).
同理得切線BD的方程為yy2=2(x+x2),②且D點(diǎn)坐標(biāo)為(-x2,0).
由①②消去y,得
又直線AD的方程為,③
直線BC的方程為.  ④
由③④消去y,得
所以xM=xN,即MN⊥x軸.
(3)證明:由題意,設(shè)M(1,y),代入(1)中的①②,得yy1=2(1+x1),yy2=2(1+x2).
所以A(x1,y1),B(x2,y2)都滿足方程yy=2(1+x).
所以直線AB的方程為yy=2(1+x).
故直線AB過定點(diǎn)(-1,0).
點(diǎn)評:本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解、推理論證的能力
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(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求證:MN⊥x軸;
(3)若直線MN與x軸的交點(diǎn)恰為F(1,0),求證:直線AB過定點(diǎn).

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