Question

是否存在常數(shù)a、b、c使等式1•（n²-1²）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=an⁴+bn²+c對(duì)一切正整數(shù)n成立？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：先取n=1，2，3探求a、b、c的值，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)一切n∈N*，a、b、c所確定的等式都成立即可．

解答：解：分別用n=1，2，3代入解方程組

a+b+c=0 16a+4b+c=3 81a+9b+c=18

?

a= 1 4 b=- 1 4 c=0.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，由上可知等式成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=1•[（k+1）²-1²]+2[（k+1）²-2²]+…+k[（k+1）²-k²]+（k+1）[（k+1）²-（k+1）²]
=1•（k²-1²）+2（k²-2²）++k（k²-k²）+1•（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）
=

1

4

k⁴+（-

1

4

）k²+（2k+1）+2（2k+1）++k（2k+1）
=

1

4

（k+1）⁴-

1

4

（k+1）²．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立．
由（1）（2）得等式對(duì)一切的n∈N*均成立．

點(diǎn)評(píng)：本題是探索性命題，它通過(guò)觀察歸納、猜想、證明這一完整的思路過(guò)程去探索和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并證明所得結(jié)論的正確性，這是非常重要的一種思維能力．