Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³+ax．
（Ⅰ）當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=x³+ax有極小值，求a的值；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)P（1，1）只有一條直線與曲線y=f（x）相切，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，判斷過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（2，0），C（-2，-2）分別存在幾條直線與曲線y=f（x）相切．（只需寫(xiě)出結(jié)論）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）=3x²+a．通過(guò)f′（1）=0，解得a，然后驗(yàn)證當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極小值，推出a=-3．
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，1）的直線與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)（x₀，y₀），則${y_0}={x_0}^3+a{x_0}$，求出切線斜率，寫(xiě)出切線方程，代入P的坐標(biāo)，推出$2{x_0}^3-3{x_0}^2+1-a=0$，設(shè)g（x）=2x³-3x²+1-a，利用“過(guò)點(diǎn)P（1，1）只有一條直線與曲線y=f（x）相切”等價(jià)于“g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)”．通過(guò)函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，然后求解即可．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，直接判斷過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（2，0），C（-2，-2）分別存在直線與曲線y=f（x）相切的條數(shù)．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由f（x）=x³+ax得f′（x）=3x²+a．…（1分）
根據(jù)題意f′（1）=0，解得a=-3．…（2分）
此時(shí)f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令f′（x）=0，解得x=-1或x=1．
當(dāng)時(shí)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
符合當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極小值，因此a=-3．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，1）的直線與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)（x₀，y₀），
則${y_0}={x_0}^3+a{x_0}$，且切線斜率為${f^'}（{x_0}）=3{x_0}^2+a$，
所以切線方程為$y-{y_0}=（3{x_0}^2+a）（x-{x_0}）$．
因此$1-（{x_0}^3+a{x_0}）=（3{x_0}^2+a）（1-{x_0}）$，
整理得$2{x_0}^3-3{x_0}^2+1-a=0$．…（6分）
設(shè)g（x）=2x³-3x²+1-a，
則“過(guò)點(diǎn)P（1，1）只有一條直線與曲線y=f（x）相切”等價(jià)于“g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)”．g′（x）=6x²-6x=6x（x-1）．
當(dāng)x變化時(shí)，g（x）與g′（x）的變化情況如下：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	1-a	↘	-a	↗

所以，g（0）=1-a是g（x）的極大值，g（1）=-a是g（x）的極小值．…（8分）
當(dāng)g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有g(shù)（0）=1-a＜0或g（1）=-a＞0，解得a＞1或a＜0．
因此當(dāng)過(guò)點(diǎn)P（1，1）只有一條直線與曲線y=f（x）相切時(shí)，a的取值范圍是a＞1或a＜0．…（10分）
（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)A（0，3）存在1條直線與曲線y=f（x）相切；
過(guò)點(diǎn)B（2，0）存在3條直線與曲線y=f（x）相切；
過(guò)點(diǎn)C（-2，-2）存在2條直線與曲線y=f（x）相切．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，切線方程以及函數(shù)的極值單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，構(gòu)造法的應(yīng)用．