Question

已知a＞0且a≠1，數(shù)列{a_n}是首項與公比均為a的等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n•lga_n（n∈N^*）．
（1）若a=2，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；
（2）若對于n∈N^*，總有b_n＜b_n+1，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由已知有，．…（2分）
∴，
∴，…（5分）
所以，
求得 ．…（8分）
（2）b_n＜b_n+1即naⁿlga＜（n+1）aⁿ⁺¹lga．由a＞0且a≠1得nlga＜（n+1）alga．（2分）
所以，或…（3分）
即，或對任意n∈N*成立，…（5分）
而，且，解得 或a＞1，
即a的取值范圍為（0，）∪（1，+∞）． …（8分）
分析：（1）由已知有，，由此可得，用錯位相減法求出它的值．
（2）由條件可得nlga＜（n+1）alga，所以，或，而，且，由此解得a的取值范圍．
點評：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，用錯位相減法求數(shù)列的前n項和．