Question

3．已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f′（x），下列命題中：
①當(dāng)xf′（x）-f′（x）＞0時，函數(shù)f（x）存在最小值；
②當(dāng)xf′（x）+f（x）＞0時，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；
③當(dāng)f′（x）-f（x）＞0時，ef（n）＜f（n+1），n∈N^*；
④當(dāng)f（1）=4，且f′（x）＜3時，不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集為（0，e）
所有正確的命題是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 分別構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分別判斷即可．

解答 解：①當(dāng)xf′（x）-f′（x）＞0即（x-1）f′（x）＞0時，
f（x）在（-∞，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
故f（x）的最小值是f（1），函數(shù)f（x）存在最小值，
故①正確；
②令g（x）=xf（x），g′（x）=xf′（x）+f（x）
當(dāng)xf′（x）+f（x）＞0時，
函數(shù)g（x）=xf（x）在R遞增，
故函數(shù)f（x）在R上不一定單調(diào)遞增，
比如f（x）=1是常函數(shù)，
故②錯誤；
③令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
當(dāng)f′（x）-f（x）＞0時，
g′（x）＞0，g（x）在R遞增，
∴g（n）＜g（n+1），
即$\frac{f（n）}{{e}^{n}}$＜$\frac{f（n+1）}{{e}^{n+1}}$，
∴ef（n）＜f（n+1），n∈N^*，
故③正確；
④令g（x）=f（x）-3x，則g′（x）=f′（x）-3
∵f′（x）＜3，∴g′（x）＜0，g（x）遞減，
而f（1）=4，∴g（1）=4-3=1，
不等式f（lnx）＞3lnx+1，
即g（lnx）＞g（1），即lnx＜1，
故不等式的解集為（0，e），
故④正確，
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造出新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．