Question

已知函數(shù)f（x）=21nx-ax+a（a∈R）．
（I）討論f（x）的單調(diào)性；
（II）試確定a的值，使不等式f（x）≤0恒成立．

Answer 1

分析：（I）求出導數(shù)f′（x），分a≤0，a＞0兩種情況進行討論，在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）由（Ⅰ），分a≤0，a＞2，0＜a＜2，a=2可得函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性可得函數(shù)的最值情況，據(jù)此可求解；

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

2

x

-a=

2-ax

x

，x＞0．
①若a≤0，則f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上遞增；
②若a＞0，則當x∈（0，

2

a

）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當x∈（

2

a

，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，①若a≤0，f（x）在（0，+∞）上遞增，
又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立．
②若a＞2，當x∈（

2

a

，1）時，f（x）遞減，f（x）＞f（1）=0，不合題意．
③若0＜a＜2，當x∈（1，

2

a

）時，f（x）遞增，f（x）＞f（1）=0，不合題意．
④若a=2，f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
f（x）≤f（1）=0符合題意，
綜上a=2．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，屬中檔題．