Question

17．設(shè)a＞0，b＞0，若$\sqrt{2}$是4^a與2^b的等比中項，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$
• D． 3+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)等比中項的性質(zhì)得到2a+b=1，利用1的代換，結(jié)合基本不等式的應(yīng)用進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 就∵a＞0，b＞0，若$\sqrt{2}$是4^a與2^b的等比中項，
∴4^a•2^b=（$\sqrt{2}$）²=2，
即2^2a+b=2，
即2a+b=1，
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）（2a+b）=2+1+$\frac{a}$+$\frac{2a}$≥3+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{2a}}$=3+2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{2a}$，即b²=2a²時取等號，
故$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$，
故選：D

點評 本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，利用1的代換是解決本題的關(guān)鍵．