Question

8．如圖，在直角坐標(biāo)平面中正方形OACB的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為扇形，OAB的弧$\widehat{AB}$上任意一點(diǎn)，D為OA的中點(diǎn)，E為OB的中點(diǎn)，$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{AE}$+y$\overrightarrow{BD}$（x，y∈R），設(shè)$\overrightarrow{a}$=（x，y），則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{OC}$的最大值為（　　）

• A． -$\sqrt{2}$
• B． -2
• C． -$\sqrt{3}$
• D． -2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由條件即可得到${\overrightarrow{AE}}^{2}={\overrightarrow{BD}}^{2}=\frac{5}{4}$，${\overrightarrow{OP}}^{2}=1$，且可求出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}=-1$，從而對(duì)$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{AE}+y\overrightarrow{BD}$兩邊平方便可得到$1=\frac{5}{4}（{x}^{2}+{y}^{2}）-2xy$，根據(jù)x²+y²≥2xy便可得到xy≤2，而由題意可知x，y＜0，$\overrightarrow{OC}=（1，1）$，從而得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{OC}=x+y≤-2\sqrt{xy}$，而$-2\sqrt{xy}≥-2\sqrt{2}$，這樣即可求出x+y的最大值，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{OC}$的最大值．

解答 解：根據(jù)條件得，${\overrightarrow{AE}}^{2}=\frac{5}{4}，{\overrightarrow{BD}}^{2}=\frac{5}{4}$，${\overrightarrow{OP}}^{2}=1$，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}=（\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）•（\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）$=$0-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+0=-1$；
∴${\overrightarrow{OP}}^{2}=（x\overrightarrow{AE}+y\overrightarrow{BD}）^{2}$
=${x}^{2}{\overrightarrow{AE}}^{2}+2xy\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}+{y}^{2}{\overrightarrow{BD}}^{2}$
=$\frac{5}{4}（{x}^{2}+{y}^{2}）-2xy$
=1；
∴${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{5}（2xy+1）≥2xy$；
∴xy≤2；
據(jù)題意知，x＜0，y＜0，$\overrightarrow{OC}=（1，1）$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{OC}=x+y=-[（-x）+（-y）]≤-2\sqrt{xy}$；
由xy≤2得，$\sqrt{xy}≤\sqrt{2}，-2\sqrt{xy}≥-2\sqrt{2}$；
∴$x+y≤-2\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$x=y=-\sqrt{2}$時(shí)取“=”；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{OC}$的最大值為$-2\sqrt{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查直角三角形邊的關(guān)系，向量減法和數(shù)乘的幾何意義，向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算，不等式x²+y²≥2xy和基本不等式的運(yùn)用，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，相等向量和向量坐標(biāo)的概念．