Question

15．已知實(shí)數(shù)a，b滿足：a≥$\frac{1}{2}$，b∈R，且a+|b|≤1，則$\frac{1}{2a}$+b的取值范圍是[$\sqrt{2}$-1，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 由題意作平面區(qū)域，結(jié)合圖象可知，關(guān)鍵求當(dāng)a+b=1時(shí)和當(dāng)a-b=1時(shí)的最值，從而解得．

解答 解：由題意作平面區(qū)域如下，
，
結(jié)合圖象可知，
當(dāng)a+b=1時(shí)，$\frac{1}{2a}$+b才有可能取到最大值，
即$\frac{1}{2a}$+1-a≤$\frac{1}{2×\frac{1}{2}}$+1-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)a-b=1時(shí)，$\frac{1}{2a}$+b才有可能取到最小值，
即$\frac{1}{2a}$+a-1≥2$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1=$\sqrt{2}$-1，
（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{2a}$=a，即a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，等號(hào)成立），
結(jié)合圖象可知，
$\frac{1}{2a}$+b的取值范圍是[$\sqrt{2}$-1，$\frac{3}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性規(guī)劃的變形應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用．