Question

【題目】已知橢圓Γ：1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2．短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與F1，F2構(gòu)成面積為2的正方形，

（1）求Γ的方程：

（2）如圖所示，過右焦點(diǎn)F2的直線1交橢圓Γ于A，B兩點(diǎn)，連接AO交Γ于點(diǎn)C，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根據(jù)題意＝及，即可求得的值，求得橢圓方程；

（2）分類討論，當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理及弦長公式求得，表示出的面積，化簡(jiǎn)即可求得面積的最大值．

（1）因?yàn)闄E圓C的短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與F1，F2構(gòu)成面積為2的正方形，

所以b＝c，S＝a2＝2，則，b＝c＝1，

故橢圓Γ的方程；

（2）①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝k（x﹣1），

聯(lián)立方程組，消去y，整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），得，，

所以，

點(diǎn)O到直線kx﹣y﹣k＝0的距離，

因?yàn)?/span>O到線段AC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)C到直線AB的距離為，

所以△ABC面積，

②當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)不妨取，，，

故△ABC面積為，

綜上，當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，△ABC面積的最大值為．