是否存在這樣的實數(shù)a,使函數(shù)f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在區(qū)間[-1,3]上與x軸恒有一個交點,且只有一個交點.若存在,求出范圍,若不存在,說明理由.
分析:此題考查的是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用類問題.在解答時,先結(jié)合存在性問題的特點先假設(shè)存在a符合題意,然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點存在性的問題結(jié)合二次函數(shù)的特點即可獲得問題的解答,注意驗證.
解答:解:若實數(shù)a滿足條件,則只需f(-1)•f(3)≤0即可.
f(-1)•f(3)=(1-3a+2+a-1)•(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0.所以a≤-
1
5
或a≥1.
檢驗:(1)當(dāng)f(-1)=0時,a=1.所以f(x)=x2+x.令f(x)=0,即x2+x=0.得x=0或x=-1.
方程在[-1,3]上有兩根,不合題意,
故a≠1.
(2)當(dāng)f(3)=0時,a=-
1
5
,此時f(x)=x2-
13
5
x-
6
5
.令f(x)=0,即x2-
13
5
x-
6
5
=0,解之得x=-
2
5
或x=3.方程在[-1,3]上有兩根,不合題意,故a≠-
1
5

綜上所述:a的取值范圍為a<-
1
5
或a>1.
點評:此題考查的是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用類問題.在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想、零點存在性知識以及結(jié)果驗證的技巧.值得同學(xué)們體會反思.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x(x-a)2,g(x)=
a2
x2,x∈(-∞,0)且a<0.

(1)求函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象的交點的坐標(biāo).
(2)設(shè)函數(shù)的圖象在交點處的切線l1、l2,分別為是否存在這樣的實數(shù)a,使得l1⊥l2?若存在,請求出a的值和相應(yīng)交點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)求函數(shù)f(x)在[-1,0)上最小值F(a).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
,(x∈R).
(1)用定義證明:不論a為何實數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù);
(2)問是否存在這樣的實數(shù)a使得f(x)為奇函數(shù)?若存在,求出a的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x(x-a)2,g(x)=
a2
x2
,x∈(-∞,0)且a<0.
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在(-∞,0)上圖象的交點坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)y=f(x),y=g(x)的圖象在同一交點處的兩條切線分別為l1,l2,是否存在這樣的實數(shù)a,使得l1⊥l2?若存在,請求出a的值和相應(yīng)交點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)若對任意x1∈[-1,0),存在x2∈[-1,0),使f(x1)≥g(x2),求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知經(jīng)過點P(0,2)且以
d
=(1,a)
為一個方向向量的直線l與雙曲線3x2-y2=1相交于不同兩點A、B.
(1)求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若點A、B均在已知雙曲線的右支上,且滿足
OA
OB
=0
,求實數(shù)a的值;
(3)是否存在這樣的實數(shù)a,使得A、B兩點關(guān)于直線y=
1
2
x-8
對稱?若存在,請求出a的值;若不存在,請說明理由.

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